Analyse dimensionnelle

En bref: L'analyse dimensionnelle est une méthode très utile aux scientifiques. Il s'agit d'associer à chaque grandeur une dimension liée aux sept unités de base du Système international. Chaque grandeur a donc une dimension unique qui peut s'exprimer en fonction de ces dimensions de base et qui représente la nature physique de cette grandeur.. On peut ensuite se servir de l'analyse dimensionnelle pour obtenir des informations utiles. Pour cela on se base sur un principe fondamental : Une équation est homogène lorsque ses deux membres ont la même dimension. Une expression non homogène est nécessairement fausse. Autrement dit, si on écrit [math]\displaystyle{ A = B }[/math] alors [math]\displaystyle{ A }[/math] et [math]\displaystyle{ B }[/math] ont forcément la même dimension (on dit qu'ils sont homogènes). De plus on ne peut additionner que des grandeurs de même dimension. Grâce à ce principe, on peut : Déterminer la dimension d'une grandeur jusqu'alors inconnue à partir d'une expression de celle-ci. Vérifier la validité d'une équation si l'on connais la dimension de tout ses membres. Prévoir la forme théorique d'une équation.

Équation aux dimensions

Lorsque l'on fait de l'analyse dimensionnelle, on écrit ce que l'on appelle des équations aux dimensions. Il s'agit de transcrire une équation en ne gardant que les termes pertinents (c'est à dire les termes ayant une dimension) pour étudier les dimensions en présence. Autrement dit, on enlève tout :

• Pré-facteur numérique, c'est à dire tout nombre présent dans une expression littérale (Par exemple, dans l'expression de l'énergie cinétique [math]\displaystyle{ E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^{2} }[/math], le terme [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] est un pré-facteur numérique)
• Grandeur adimensionnée, c'est à dire terme littéral sans dimension (par exemple un angle est une grandeur adimensionné).
• Facteur de proportionnalité, c'est à dire tout facteur de conversion entre unités. Dans les faits, il se présente, en générale, sous la forme d'un préfacteur numérique. (par exemple, si on prend l'équation : [math]\displaystyle{ \rho = 1 000 \times \frac{m}{V} }[/math] ou [math]\displaystyle{ \rho }[/math] est la masse volumique exprimée en kilogrammes par mètre cube, [math]\displaystyle{ m }[/math] la masse en tonnes et [math]\displaystyle{ V }[/math] le volume en mètres cube, le facteur [math]\displaystyle{ 1 000 }[/math] est un facteur de conversion entre les tonnes et les kilogrammes).