Distances sur Terre
La triangulation
La triangulation est une technique inventée au 17e siècle qui permet de calculer des longueurs à partir de mesures d'angles. Cette méthode fait appel à la trigonométrie et se base sur la loi des sinus:[math]\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma } }[/math]. Elle part du principe que si on connait deux angles et un côté d'un triangle, alors on en connait tous les côtés. On peut ainsi mesurer de longues distances plus précisément et plus facilement qu'en mettant des règles de longueur connues bout à bout.
Le principe est relativement simple: il faut tracer des triangles donc les sommets sont visibles les uns depuis les autres (comme des clochers, des collines...) et y placer un signal. La seule mesure qui n'est pas un angle est celle d'un côté du triangle, au départ. Toutes les autres mesures nécessaires sont des mesures d'angles, effectuées grâce au cercle répétiteur.
Prenons un exemple concret:
On cherche à mesurer la distance AB, représentée sur le schéma. On peut décomposer cette distance ainsi: [math]\displaystyle{ AB=AG+GH+HI+IB }[/math]. Le côté en rouge représente la base du premier triangle, que l'on a mesurée.
- On travaille tout d'abord dans le triangle ACD. On connait AC, ainsi que les angles [math]\displaystyle{ \widehat{DAC} }[/math] et [math]\displaystyle{ \widehat{ACD} }[/math]. On peut donc calculer [math]\displaystyle{ \widehat{ADC} }[/math], car on sait que dans un triangle, la somme des angles vaut 180°. Grace à la loi des sinus, on peut calculer les côtés AD et DC. Nous avons donc résolu le triangle ACD.
- Plaçons nous maintenant dans le triangle AGD: on peut mesurer l'angle [math]\displaystyle{ \widehat{ADG} }[/math], ainsi que l'angle [math]\displaystyle{ \widehat{DAG} }[/math], qui est l'angle entre le côté AD et le méridien, que l'on appelle azimut. Nous connaissons également le côté AD. A nouveau, nous avons un triangle dont on connait un côté ainsi que deux angles. On peut donc calculer les côtés DG et AG. Nous avons une première partie de notre distance AB!
- On répète ces mesures et ces calculs dans le triangle ACD, afin de connaitre la distance CG. Ainsi on connait le côté DC, qui est égal à [math]\displaystyle{ DG+CG }[/math].
- Et ainsi de suite, on travaille dans le triangle DCE, et de triangle en triangle on finit par connaitre chacun des morceaux de notre distance AB!
Il faut également ajouter qu'en pratique, les sommets des triangles, donc les signaux, ne sont pas tous à la même hauteur. Il faut alors mesurer aussi l'angle entre le côté du triangle et la verticale. De plus, la Terre est ronde donc les côtés des triangles sont courbes, ce qui complique encore les calculs.