Analyse dimensionnelle

En bref: L'analyse dimensionnelle est une méthode très utile aux scientifiques. Il s'agit d'associer à chaque grandeur une dimension liée aux sept unités de base du Système international. Chaque grandeur a donc une dimension unique qui peut s'exprimer en fonction de ces dimensions de base et qui représente la nature physique de cette grandeur.. On peut ensuite se servir de l'analyse dimensionnelle pour obtenir des informations utiles. Pour cela on se base sur un principe fondamental : Une équation est homogène lorsque ses deux membres ont la même dimension. Une expression non homogène est nécessairement fausse. Autrement dit, si on écrit [math]\displaystyle{ A = B }[/math] alors [math]\displaystyle{ A }[/math] et [math]\displaystyle{ B }[/math] ont forcément la même dimension (on dit qu'ils sont homogènes). De plus on ne peut additionner que des grandeurs de même dimension. Grâce à ce principe, on peut : Déterminer la dimension d'une grandeur jusqu'alors inconnue à partir d'une expression de celle-ci. Vérifier la validité d'une équation si l'on connais la dimension de tout ses membres. Prévoir la forme théorique d'une équation.

Notations

Commençons par introduire quelques notations utiles. Tout d'abord pour désigner la dimension d'une grandeur, on note cette grandeur entre crochets. Ainsi, si [math]\displaystyle{ F }[/math] est une force, la dimension d'une force est notée [math]\displaystyle{ [F] }[/math]. Pour les sept grandeurs de base on les associe chacune à une lettre que l'on note sans crochet afin de faire la distinction. Ainsi la dimension d'une masse est notée [math]\displaystyle{ M }[/math]. Il faut faire très attention à bien distinguer la dimension d'une grandeur de l'unité utilisée pour exprimer cette grandeurs. Pour chaque grandeur la dimension est unique tandis qu'il existe bien souvent une multitude d'unités différentes.

on peut résumer les dimensions des sept grandeurs de base par le tableau :

Grandeur physique	Symbole de la dimension	Nom de l'unité	Symbole de l'unité
Longueur	[math]\displaystyle{ L }[/math]	Mètre	m
Masse	[math]\displaystyle{ M }[/math]	Kilogramme	kg
Temps	[math]\displaystyle{ T }[/math]	Seconde	s
Courant électrique	[math]\displaystyle{ I }[/math]	Ampère	A
Température thermodynamique	[math]\displaystyle{ thêta }[/math] (thêta)	Kelvin	K
Quantité de matière	[math]\displaystyle{ N }[/math]	Mole	mol
Intensité lumineuse	[math]\displaystyle{ J }[/math]	Candela	cd

Équation aux dimensions

Lorsque l'on fait de l'analyse dimensionnelle, on écrit ce que l'on appelle des équations aux dimensions. Il s'agit de transcrire une équation en ne gardant que les termes pertinents (c'est à dire les termes ayant une dimension) pour étudier les dimensions en présence. Autrement dit, on enlève tout :

• Pré-facteur numérique, c'est à dire tout nombre présent dans une expression littérale (Par exemple, dans l'expression de l'énergie cinétique [math]\displaystyle{ E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^{2} }[/math], le terme [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] est un pré-facteur numérique)
• Grandeur adimensionnée, c'est à dire terme littéral sans dimension (par exemple un angle est une grandeur adimensionné).
• Facteur de proportionnalité, c'est à dire tout facteur de conversion entre unités. Dans les faits, il se présente, en générale, sous la forme d'un préfacteur numérique. (par exemple, si on prend l'équation : [math]\displaystyle{ \rho = 1 000 \times \frac{m}{V} }[/math] ou [math]\displaystyle{ \rho }[/math] est la masse volumique exprimée en kilogrammes par mètre cube, [math]\displaystyle{ m }[/math] la masse en tonnes et [math]\displaystyle{ V }[/math] le volume en mètres cube, le facteur [math]\displaystyle{ 1 000 }[/math] est un facteur de conversion entre les tonnes et les kilogrammes).

Il y a ensuite deux possibilités :

• On cherche à déterminer la dimension d'une grandeur présente dans l'équation. On remplace alors toutes les autres grandeurs par leur dimension. Quelques manipulation du calcul plus tard, nous avons notre résultat. Exemple :
  Prenons la loi universelle de la gravitation [math]\displaystyle{ {F}_{A/B}= {F}_{B/A} = G\frac{M_A M_B}{d^2} }[/math] et supposons la dimension de G inconnue. Il faut alors étudier les dimensions des autres grandeurs en présence. [math]\displaystyle{ M_A }[/math] et [math]\displaystyle{ M_B }[/math] sont des masses. On a donc [math]\displaystyle{ [M_A] = [M_B] = M }[/math]. De plus [math]\displaystyle{ d }[/math] est une distance. Donc [math]\displaystyle{ [d^2] = L^2 }[/math]. La dimension d'une force est plus complexe puisque ce n'est pas l'une des grandeurs de base du SI. Soit on la connais par cœur : [math]\displaystyle{ [{F}_{A/B}]=MLT^{-2} }[/math]. Sinon, il faut la retrouver, toujours par la même méthode. Pour cela, on peut utiliser la formule : [math]\displaystyle{ F=ma }[/math] ou [math]\displaystyle{ F }[/math] désigne la force, [math]\displaystyle{ m }[/math] désigne une masse et [math]\displaystyle{ a }[/math] un accélération. On a donc [math]\displaystyle{ [F]=[m] \times [a] }[/math] soit [math]\displaystyle{ [F]=MLT^{-2} }[/math]. Finalement, on obtient : [math]\displaystyle{ [G]=[F]\frac{L^2}{M^2} }[/math] soit [math]\displaystyle{ [G]=M^{-1}L^{3}T^{-2} }[/math].
• On cherche à vérifier l'homogénéité d'une équation. On détermine alors la dimension de chaque membre de l'équation et on compare les résultats. Exemple :
  On veut déterminer si l'équation : [math]\displaystyle{ E = \frac{1}{2}mv^{2} + mgz }[/math] est homogène. Il faut vérifier alors que : [math]\displaystyle{ [E] = [mv^{2}] = [mgz] }[/math]. On a : [math]\displaystyle{ [E] = ML^{2}T^{-2} }[/math]. De plus [math]\displaystyle{ [m]=M }[/math], [math]\displaystyle{ [v^{2}]=L^{2}T^{-2} }[/math], [math]\displaystyle{ [g]=LT^{-2} }[/math] et enfin [math]\displaystyle{ [z]=L }[/math]. On constate donc que l'on a bien [math]\displaystyle{ [E] = [mv^{2}] = [mgz] = ML^{2}T^{-2} }[/math], l'équation est donc bien homogène.